已知数列{an}的前n项Sn满足Sn=n(an-a1)/2且a2=2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/19 13:26:53
(1)求a1的值。并证明当n>2时有an=(n-1)/(n-2)an-1
(2)求证1/S2+1/S3+...+1/Sn<1

Sn=n(an-a1)/2
所以S(n-1)=(n-1)[a(n-1)-a1]/2
相减
且Sn-S(n-1)=an
所以 an=nan/2-na1/2-(n-1)a(n-1)/2+(n-1)a1/2
令n=2,a2=2
2=2-a1-a1/2+a1/2
a1=0

an=nan/2-na1/2-(n-1)a(n-1)/2+(n-1)a1/2
所以2an=nan-(n-1)a(n-1)
所以an=(n-1)/(n-2)a(n-1)

an/a(n-1)=(n-1)/(n-2)
所以a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/(n-3)
……
a3/a2=2/1
相乘
an/a2=(n-1)/1
an=a2(n-1)=2n-2
所以Sn=(a1+an)*n/2=n(n-1)
1/Sn=1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
1/S2+1/S3+...+1/Sn
=（1/1-1/2）+（1/2-1/3）+……+[1/(n-1)-1/n]
=1-1/n
n>=1,
所以1/S2+1/S3+...+1/Sn<1